$x^2+(3a+1)x+2a^2+a=0$
$D=b^2-4ac=(3a+1{)}^2-4\ast 1\ast (2a^2+a)=9a^2+6a+1-8a^2-4a=a^2+2a+1=(a+1{)}^2$
(a + 1)^2 = 0
a + 1 = 0
a = −1
при a = −1:
$D=(-1+1{)}^2=0^2=0$
$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(3a+1)+\sqrt{0}}{2\ast 1}=\frac{-3a-1}{2}=\frac{-3\ast (-1)-1}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$
при a ≠ −1:
D > 0
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(3a+1)+\sqrt{(a+1{)}^2}}{2\ast 1}=\frac{-3a-1+a+1}{2}=\frac{-2a}{2}=-a$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(3a+1)-\sqrt{(a+1{)}^2}}{2\ast 1}=\frac{-3a-1-a-1}{2}=\frac{-4a-2}{2}=\frac{2(-2a-1)}{2}=-2a-1$
Ответ:
при a = −1:
x = 1
при a ≠ −1:
x = −2a − 1; x = −a.

$x^2-(2a+4)x+8a=0$
$D=b^2-4ac=(2a+4{)}^2-4\ast 1\ast 8a=4a^2+16a+16-32a=4a^2-16a+16=(2a-4{)}^2$
$(2a-4{)}^2=0$
2a − 4 = 0
2a = 4
a = 2
при a = 2:
$D=(2\ast 2-4{)}^2=(4-4{)}^2=0^2=0$
$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2a+4+\sqrt{0}}{2\ast 1}=\frac{2a+4}{2}=\frac{2(a+2)}{2}=a+2=2+2=4$
при a ≠ 2:
D > 0
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2a+4+\sqrt{(2a-4{)}^2}}{2\ast 1}=\frac{2a+4+2a-4}{2}=\frac{4a}{2}=2a$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{2a+4-\sqrt{(2a-4{)}^2}}{2\ast 1}=\frac{2a+4-(2a-4)}{2\ast 1}=\frac{2a+4-2a+4}{2}=\frac{8}{2}=4$
Ответ:
при a = 2:
x = 4
при a ≠ 2:
x = 2a; x = 4.

$a^2{x}^2-24ax-25=0$
$D=b^2-4ac=(-24a{)}^2-4\ast a^2\ast (-25)=576a^2+100a^2=676a^2$
$676a^2=0$
$a^2=0$
a = 0
при a = 0:
$0^2\ast x^2-24\ast 0\ast x-25=0$
−25 ≠ 0 − нет корней
при a ≠ 0:
D > 0
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{24a+\sqrt{676a^2}}{2a^2}=\frac{24a+26a}{2a^2}=\frac{50a}{2a^2}=\frac{25}{a}$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{24a-\sqrt{{676}^2}}{2a^2}=\frac{24a-26a}{2a^2}=\frac{-2a}{2a^2}=-\frac{1}{a}$
Ответ:
при a = 0:
нет корней
при a ≠ 0:
$x=\frac{25}{a};x=-\frac{1}{a}$.

$3(2a-1)x^2-2(a+1)x+1=0$
2a − 1 = 0
2a = 1
a = 0,5
при a = 0,5: уравнение будет линейным и будет иметь 1 корень:
$3(2\ast 0,5-1)x^2-2(0,5+1)x+1=0$
$3(1-1)x^2-(1+2)x+1=0$
−3x + 1 = 0
−3x = −1
$x=\frac{1}{3}$
при a ≠ 0,5: уравнение будет квадратным:
$D=b^2-4ac=(-2(a+1){)}^2-4\ast 3(2a-1)\ast 1=4(a^2+2a+1)-12(2a-1)=4a^2+8a+4-24a+12=4a^2-16a+16=(2a-4{)}^2$
$(2a-4{)}^2=0$
2a − 4 = 0
2a = 4
a = 2
при a = 2:
$D=(2\ast 2-4{)}^2=(4-4{)}^2=0^2=0$
$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2(a+1)+\sqrt{0}}{2\ast 3(2a-1)}=\frac{2(a+1)}{6(2a-1)}=\frac{2\ast (2+1)}{6\ast (2\ast 2-1)}=\frac{2\ast 3}{6\ast (4-1)}=\frac{6}{6\ast 3}=\frac{1}{3}$
при a ≠ 2:
D > 0
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2(a+1)+\sqrt{(2a-4{)}^2}}{2\ast 3(2a-1)}=\frac{2a+2+2a-4}{6(2a-1)}=\frac{4a-2}{6(2a-1)}=\frac{2(2a-1)}{6(2a-1)}=\frac{1}{3}$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{2(a+1)-\sqrt{(2a-4{)}^2}}{2\ast 3(2a-1)}=\frac{2a+2-(2a-4)}{6(2a-1)}=\frac{2a+2-2a+4}{6(2a-1)}=\frac{6}{6(2a-1)}=\frac{1}{2a-1}$
Ответ:
при a = 0,5:
$x=\frac{1}{3}$
при a = 2:
$x=\frac{1}{3}$
при a ≠ 2:
$x=\frac{1}{3};x=\frac{1}{2a-1}$.