Пусть x (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 31 (см) − длина прямоугольника.
Так как, согласно теореме Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, можно составить уравнение:
$x^2+(x+31{)}^2={41}^2$
$x^2+x^2+62x+961=1681$
$2x^2+62x+961-1681=0$
$2x^2+62x-720=0$ |: 2
$x^2+31x-360=0$
$D=b^2-4ac={31}^2-4\ast 1\ast (-360)=961+1440=2401>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-31+\sqrt{2401}}{2\ast 1}=\frac{-31+49}{2}=\frac{18}{2}=9$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-31-\sqrt{2401}}{2\ast 1}=\frac{-31-49}{2}=\frac{-80}{2}=-40$ − не удовлетворяет условию задачи, так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 9 (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 31 = 9 + 31 = 40 (см) − длина прямоугольника.
Ответ: 9 см и 40 см