$\sqrt{(\sqrt{x}+5{)}^2-20\sqrt{x}}+\sqrt{(\sqrt{x}-4{)}^2+16\sqrt{x}}=\sqrt{x+10\sqrt{x}+25-20\sqrt{x}}+\sqrt{x-8\sqrt{x}+16+16\sqrt{x}}=\sqrt{x-10\sqrt{x}+25}+\sqrt{x+8\sqrt{x}+16}=\sqrt{(\sqrt{x}-5{)}^2}+\sqrt{(\sqrt{x}+4{)}^2}=|\sqrt{x}-5|+|\sqrt{x}+4|$
1)
если $\sqrt{x}-5\ge 0$, то и $\sqrt{x}+4>0$, тогда:
$|\sqrt{x}-5|+|\sqrt{x}+4|=\sqrt{x}-5+\sqrt{x}+4=2\sqrt{x}-1$
2)
если $\sqrt{x}-5<0$ и $\sqrt{x}+4>0$, тогда:
$|\sqrt{x}-5|+|\sqrt{x}+4|=-(\sqrt{x}-5)+\sqrt{x}+4=-\sqrt{x}+5+\sqrt{x}+4=9$
3)
если $\sqrt{x}-5<0$ и $\sqrt{x}+4<0$, тогда:
$|\sqrt{x}-5|+|\sqrt{x}+4|=-(\sqrt{x}-5)-(\sqrt{x}+4)=-\sqrt{x}+5-\sqrt{x}-4=-2\sqrt{x}+1$

$\sqrt{a+2\sqrt{a+3}+4}+\sqrt{a-2\sqrt{a+3}+4}=\sqrt{a+3+2\sqrt{a+3}+1}+\sqrt{a+3-2\sqrt{a+3}+1}=\sqrt{(\sqrt{a+3}{)}^2+2\sqrt{a+3}+1}+\sqrt{(\sqrt{a+3}{)}^2-2\sqrt{a+3}+1}=\sqrt{(\sqrt{a+3}+1{)}^2}+\sqrt{(\sqrt{a+3}-1{)}^2}=\sqrt{a+3}+1+|\sqrt{a+3}-1|$
a + 3 ≥ 0
a ≥ −3
1)
если $\sqrt{a+3}-1\ge 0$, то:
$\sqrt{a+3}\ge 1$
a + 3 ≥ 1
a ≥ 1 − 3
a ≥ −2, значит:
−3 ≤ a ≤ −2
$\sqrt{a+3}+1+|\sqrt{a+3}-1|=\sqrt{a+3}+1-\sqrt{a+3}-1=2$
2)
если a > −2:
$\sqrt{a+3}+1+|\sqrt{a+3}-1|=\sqrt{a+3}+1+\sqrt{a+3}-1=2\sqrt{a+3}$